北京化工大学 660 高等数学考研历年真题答案参考书目
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封面
【初试】2024 年北京化工大学
660 高等数学考研精品资料
考研精品资料
第 2 页 共 206 页
【初试】2024 年北京化工大学 660 高等数学考研精品资料
说明：本套资料由高分研究生潜心整理编写，高清 PDF 电子版支持打印，考研首选资料。
一、北京化工大学 660 高等数学考研真题汇编及考研大纲
1．北京化工大学 660 高等数学 2002-2008、2013-2016 年考研真题，暂无答案。
说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。
2.北京化工大学 660 高等数学考研大纲
①2021 年北京化工大学 660 高等数学考研大纲。
②2022 年北京化工大学 660 高等数学考研大纲。
说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复
习的首选资料，本项为免费提供。
二、2024 年北京化工大学 660 高等数学考研资料
3．《高等数学》（
1-6 章、12 章）考研相关资料
（
1）《高等数学》（
1-6 章、12 章）[笔记+提纲]
①2024 年北京化工大学 660 高等数学之《高等数学》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。
②2024 年北京化工大学 660 高等数学之《高等数学》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
3．《线性代数》（
1-3 章）考研相关资料
（
1）《线性代数》（
1-3 章）[笔记+提纲]
①2024 年北京化工大学 660 高等数学之同济大学数学教研室主编《高等数学》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。
②2024 年北京化工大学 660 高等数学之同济大学数学教研室主编《高等数学》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
三、电子版资料全国统一零售价
4．本套考研资料包含以上一、二部分（高清 PDF 电子版，不含教材），全国统一零售价：[￥]
特别说明：
①本套资料由本机构编写组按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复习参
考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。
②资料中的若有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感
谢，如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！
三、2024 年研究生入学考试指定/推荐参考书目（资料不包括教材）
5．北京化工大学 660 高等数学考研初试参考书
《线性代数》第 1-3 章，主编，化工出版社
考研精品资料
第 3 页 共 206 页
《高等数学》第四版，上册第 1-6 章，下册第 12 章，同济大学数学教研室，高等教育出版社
四、本套考研资料适用学院和专业及考试题型
数理学院：物理学
填空题与选择题、解答题（包括证明题）
版权声明
编写组依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面
上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由
于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在
此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您
沟通处理。
因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读
者批评指正。
考研精品资料
第 4 页 共 206 页
目录
封面............................................................................................................................................................. 1
目录............................................................................................................................................................. 4
2024 年北京化工大学 660 高等数学备考信息 ............................................................................................. 6
北京化工大学 660 高等数学考研初试参考书目
............................................................................................... 6
北京化工大学 660 高等数学考研招生适用院系及考试题型............................................................................ 6
北京化工大学 660 高等数学历年真题汇编.................................................................................................. 7
北京化工大学 660 高等数学 2002 年考研真题（暂无答案）.......................................................................... 7
北京化工大学 660 高等数学 2003 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 10
北京化工大学 660 高等数学 2004 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 12
北京化工大学 660 高等数学 2005 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 17
北京化工大学 660 高等数学 2006 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 22
北京化工大学 660 高等数学 2007 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 27
北京化工大学 660 高等数学 2008 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 30
北京化工大学 660 高等数学 2013 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 35
北京化工大学 660 高等数学 2014 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 39
北京化工大学 660 高等数学 2015 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 44
北京化工大学 660 高等数学 2016 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 48
北京化工大学 660 高等数学考研大纲 ........................................................................................................53
2021 年北京化工大学 660 高等数学考研大纲................................................................................................. 53
2022 年北京化工大学 660 高等数学考研大纲................................................................................................. 59
2024 年北京化工大学 660 高等数学考研核心笔记.....................................................................................67
《高等数学》考研核心笔记.......................................................................................................................67
第 1 章 函数与极限.......................................................................................................................................... 67
考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................67
考研核心笔记........................................................................................................................................................67
第 2 章 导数与微分.......................................................................................................................................... 82
考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................82
考研核心笔记........................................................................................................................................................82
第 3 章 微分中值定理与导数的应用.............................................................................................................. 90
考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................90
考研核心笔记........................................................................................................................................................90
第 4 章 不定积分............................................................................................................................................ 101
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................101
考研核心笔记......................................................................................................................................................101
考研精品资料
第 5 页 共 206 页
第 5 章 定积分考研提纲及考试要求............................................................................................................ 107
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................107
考研核心笔记......................................................................................................................................................107
第 6 章 定积分的应用.................................................................................................................................... 117
考研题钢及要求..................................................................................................................................................117
考研核心笔记......................................................................................................................................................117
第 12 章 无穷级数.......................................................................................................................................... 121
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................121
考研核心笔记......................................................................................................................................................121
《线性代数》考研核心笔记.....................................................................................................................137
第 1 章 行列式................................................................................................................................................ 137
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................137
考研核心笔记......................................................................................................................................................137
第 2 章 矩阵.................................................................................................................................................... 150
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................150
考研核心笔记......................................................................................................................................................150
第 3 章 N 维向量及其线性相关性................................................................................................................. 172
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................172
考研核心笔记......................................................................................................................................................172
2024 年北京化工大学 660 高等数学考研复习提纲...................................................................................185
《高等数学》考研复习提纲 ........................................................................................................................... 185
《线性代数》考研复习提纲 ........................................................................................................................... 204
考研精品资料
第 6 页 共 206 页
2024 年北京化工大学 660 高等数学备考信息
北京化工大学 660 高等数学考研初试参考书目
《线性代数》第 1-3 章，主编，化工出版社
《高等数学》第四版，上册第 1-6 章，下册第 12 章，同济大学数学教研室，高等教育出版社
北京化工大学 660 高等数学考研招生适用院系及考试题型
数理学院：物理学
填空题与选择题、解答题（包括证明题）
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第 7 页 共 206 页
北京化工大学 660 高等数学历年真题汇编
北京化工大学 660 高等数学 2002 年考研真题（暂无答案）
青岛金а榜华研电子书
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第 8 页 共 206 页
考研精品资料
第 9 页 共 206 页
考研精品资料
第 10 页 共 206 页
北京化工大学 660 高等数学 2003 年考研真题（暂无答案）
考研精品资料
第 53 页 共 206 页
北京化工大学 660 高等数学考研大纲
2021 年北京化工大学 660 高等数学考研大纲
[考试科目]
高等数学、线性代数
高等数学
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐
函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立 数列极限与函数极
限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小
的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 :
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．
6． 掌握极限的性质及四则运算法则
7． 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8． 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．
9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小
值定理、介值定理），并会应用这些性质．
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二、一元函数微分学
考试内容。
导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的
切线和法线 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所
确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L’Hospital）法则
函数的极值 函数单调性的判别 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最
小值
考试要求
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法
线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运
算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数．
4. 会求分段函数的一阶、二阶导数．
5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．
6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理.
7． 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小
值的求法及其简单应用．
8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形．
9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积
分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 不定积分和定积分的
换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分 定积分的应
用
考试要求
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1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部
积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．
4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．
5．了解广义积分的概念，会计算广义积分．
6．了解定积分的近似计算法．
7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面
面积为已知的立体体积、功）.
四、多元函数微积分学
考试内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函
数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数、隐函数求导法 二阶偏导数 多元函数的极
值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算
考试要求
1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。
3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函
数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
4．了解多元函数极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，
会求二元函数的极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。
5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。
五、常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶
的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的
某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程简单应用
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考试要求
1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念．
2．掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。
3．会用降阶法解下列方程：
，
，
．
4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．
5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性
微分方程．
7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．
线性代数
一、行列式
考试内容
行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理
考试要求
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
二、矩阵
考试内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概
念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等
价
考试要求
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵，以及它们的性质．
2． 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式
y (n) f (x) y f (x, y ) y f (y, y )
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2024 年北京化工大学 660 高等数学考研核心笔记
《高等数学》考研核心笔记
第 1 章 函数与极限
考研提纲及考试要求
考点：集合
考点：映射
考点：函数
考点：数列的概念
考点：数列的几何意义
考研核心笔记
【核心笔记】映射与函数
1.集合
（1）集合概念：
集合（简称集）：集合是指具有某种特定性质的事物的总体。用 A，B，M 等表示。
元素：组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合 M 的元素表示为 aM。
集合的表示：
列举法：把集合的全体元素一一列举出来。
描述法：若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成，则 M 可表示为：
A{a1，a2，，an},M{x|x 具有性质 P}。
几个数集：
N 表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。
N{0，1，2， ，n， }。N{1，2， ，n， }。
R 表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Z 表示所有整数构成的集合，称为整数集。
Z{ ，n， ，2，1，0，1，2， ，n， }。
Q 表示所有有理数构成的集合，称为有理数集。
{ | p Z,q 且p与q互质}
q
Q p N
子集：若 xA，则必有 xB，则称 A 是 B 的子集，记为 AB（读作 A 包含于 B）或 BA
如果集合 A 与集合 B 互为子集，AB 且 BA，则称集合
A 与集合 B 相等，记作 AB
若 AB 且 AB，则称 A 是 B 的真子集，记作 A
B。
例如，N Z Q R
不含任何元素的集合称为空集，记作 。规定空集是任何集合的子集。
（
2）集合的运算
设 A、B 是两个集合，由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集（简称并），
记作 AB，即：AB{x|xA 或 xB}。
设 A、B 是两个集合，由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集（简称交），
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第 68 页 共 206 页
记作 AB，即：AB{x|xA 且 xB}。
设 A、B 是两个集合，由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集（简称差），
记作 A\B，即：A\B{x|xA 且 xB}。
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集。此时，我
们称集合 I 为全集或基本集。称 I\A 为 A 的余集或补集，记作 AC。
集合运算的法则：
设 A、B、C 为任意三个集合，则
①交换律 ABBA，ABBA；
②结合律（AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；
③分配律（AB）C（AC）（BC），（AB）C（AC）（BC）；
④对偶律（AB）CACBC，（AB）CACBC。
（AB）CACBC 的证明：
x（AB）CxABxA 且 xBxAC 且 xBCxACBC，所以（AB）CACBC。
直积（笛卡儿乘积）：
设 A、B 是任意两个集合，在集合 A 中任意取一个元素 x，在集合 B 中任意取一个元素 y，组成一个
有序对（
x，y），把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积，记为
AB，即
AB{（
x，y）|xA 且 yB}。
（
3）区间和邻域
有限区间：设 a<b，称数集{x|a<x<b}为开区间，记为（
a，b），即：（
a，b）{x|a<x<b}。
类似地有：
[a，b]{x|axb}称为闭区间，[a，b）{x|ax<b}、（
a，b]{x|a<xb}称为半开区间。
其中 a 和 b 称为区间（
a，b）、[a，b]、[a，b）、（
a，b]的端点，ba 称为区间的长度。
无限区间：[a，）{x|ax}，（
，b]{x|x<b}，（
，）{x||x|<}。
区间在数轴上的表示：
邻域：以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作 U（
a）。
设 是一正数，则称开区间（
a，a）为点 a 的 邻域，记作 U（
a，）。
即：U（
a，）{x|a<x<a}{x||xa|<}。
其中点 a 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。
去心邻域
（
a，）：
U （
a，）{x|0<|xa|<}
2.映射
（1）映射的概念
定义设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f，使得对 X 中每个元素 x，按法则 f，在 Y 中有唯
一确定的元素 y 与之对应，则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作：f：XY。
其中 y 称为元素 x（在映射 f 下）的像，并记作 f（
x），即：yf（
x）。
而元素 x 称为元素 y（在映射 f 下）的一个原像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 Df，即：DfX。
X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记为 Rf，或 f（X），即：Rff（X）{f（
x）|xX}。
需要注意的问题：
U
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第 69 页 共 206 页
①构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 X，即定义域 DfX；集合 Y，即值域的范围：RfY；
对应法则 f，使对每个 xX，有唯一确定的 yf（
x）与之对应。
②对每个 xX，元素 x 的像 y 是唯一的；而对每个 yRf，元素 y 的原像不一定是唯一的；映射 f 的
值域 Rf是 Y 的一个子集，即 RfY，不一定 RfY。
③f：
[1，1]，对每个 x
，f（
x）sinx。
f 是一个映射，定义域 Df
，值域 Rf[1，1]。
满射、单射和双射：
设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射，若 RfY，即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 f 为 X 到
Y 上的映射或满射；若对 X 中任意两个不同元素 x1x2，它们的像 f（
x1）f（
x2），则称 f 为 X 到 Y 的单
射；若映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射（或双射）。
（
2）逆映射与复合映射
设 f 是 X 到 Y 的单射，则由定义，对每个 yRf，有唯一的 xX，适合 f（
x）y，于是，我们可定义
一个从 Rf 到 X 的新映射 g，即：g：RfX。
对每个 yRf，规定 g（
y）x，这 x 满足 f（
x）y。这个映射 g 称为 f 的逆映射，记作 f 1，其定义域
Rf，值域
X。
按上述定义，只有单射才存在逆映射。上述三例中哪个映射存在逆映射？
设有两个映射：
g：XY1，f：Y2Z
其中 Y1Y2。则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 xX 映射成 f[g（
x）
]Z。
显然，这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射，这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作 fog，
即
fog：XZ，（fog）（
x）f[g（
x）]，xX
应注意的问题：
映射 g 和 f 构成复合映射的条件是：g 的值域 Rg必须包含在 f 的定义域内，RgDf。否则，不能构成
复合映射。由此可以知道，映射 g 和 f 的复合是有顺序的，fog 有意义并不表示 gof 也有意义。即使 fog 与
gof 都有意义，复映射 fog 与 gof 也未必相同。
3.函数
（1）函数概念
定义设数集 DR，则称映射 f：DR 为定义在 D 上的函数，通常简记为：yf（
x），xD，
其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 DfD。
应注意的问题：
记号 f 和 f（
x）的含义是有区别的，前者表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应法则，而后者表示与自
变量 x 对应的函数值。但为了叙述方便，习惯上常用记号“
f（
x），xD”或“y=f（
x），xD”来表示
定义在 D 上的函数，这时应理解为由它所确定的函数 f。
函数符号：函数 yf（
x）中表示对应关系的记号 f 也可改用其它字母，例如“F”，“”等。此时函
数就记作 y（
x），yF（
x）。
函数的两要素：
函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在 R 内，因此构成函数的要素是定义域 Df及对应法则 f。
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。
函数的定义域：
函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际
意义确定。例如，在自由落体运动中，设物体下落的时间为 t，下落的距离为 s，开始下落的时刻 t0，落
]
2
,
2
[
]
2
,
2
[
]
2
,
2
[
D f 1
Rf 1
考研精品资料
第 70 页 共 206 页
地的时刻 tT，则 s 与 t 之间的函数关系是
，t[0，T]。
这个函数的定义域就是区间[0，T]；另一种是对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义
域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一般
的用算式表达的函数可用“
yf（
x）”表达，而不必再表出 Df。
例如，函数
的定义域是闭区间[1，1]，函数
的定义域是开区间（
1，1）。
单值函数与多值函数：
在函数的定义中，对每个 xD，对应的函数值 y 总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数。如果给
定一个对应法则，按这个法则，对每个 xD，总有确定的 y 值与之对应，但这个 y 不总是唯一的，我们称
这种法则确定了一个多值函数。
例如，设变量 x 和 y 之间的对应法则由方程 x 2y 2r 2 给出。显然，对每个 x[r，r]，由方程 x 2y 2r 2，
可确定出对应的 y 值，当 xr 或 xr 时，对应 y0 一个值；当 x 取（
r，r）内任一个值时，对应的 y 有
两个值。所以这方程确定了一个多值函数。
对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函
数的单值分支。
例如，在由方程 x 2y 2r 2 给出的对应法则中，附加“
y0”的条件，即以“x 2y 2r 2 且 y0”作为对应
法则，就可得到一个单值分支
；附加“
y0”的条件，即以“x 2y 2r 2 且 y0”作为对应
法则，就可得到另一个单值分支
。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中学里大家已经熟悉。其中，
用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集
{P（
x，y）|yf（
x），xD}
称为函数 yf（
x），xD 的图形。图中的 Rf 表示函数 yf（
x）的值域。
（
2）函数的几种特性
①函数的有界性
设函数 f（
x）的定义域为 D，数集 XD。如果存在数 K1，使对任一 xX，有 f（
x）K1，则称函数
f（
x）在 X 上有上界，而称 K1 为函数 f（
x）在 X 上的一个上界。图形特点是 yf（
x）的图形在直线 yK1
的下方。
如果存在数 K2，使对任一 xX，有 f（
x）K2，则称函数 f（
x）在 X 上有下界，而称 K2 为函数 f（
x）
在 X 上的一个下界。图形特点是，函数 yf（
x）的图形在直线 yK2 的上方。
如果存在正数 M，使对任一 xX，有|f（
x）|M，则称函数 f（
x）在 X 上有界；如果这样的 M 不存
在，则称函数 f（
x）在 X 上无界。图形特点是，函数 yf（
x）的图形在直线 y-M 和 yM 的之间。
函数 f（
x）无界，就是说对任何 M，总存在 x1X，使|f（
x）|>M。
②函数的单调性
设函数 yf（
x）的定义域为 D，区间 ID。如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2，当 x1<x2时，恒有 f
（
x1）<f（
x2）
则称函数 f（
x）在区间 I 上是单调增加的。
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2，当 x1<x2时，恒有 f（
x1）>f（
x2），则称函数 f（
x）在区间 I 上
是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
③函数的奇偶性
2
2
s 1 gt
y 1x 2
1 2
1
x
y
y y1 (x) r 2 x 2
y y2 (x) r 2 x 2
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《线性代数》考研核心笔记
第 1 章 行列式
考研提纲及考试要求
考点：排列的逆序与奇偶性
考点：n 阶行列式的定义
考点：行列式的转置
考点：几个简单的性质
考点：行列式的三个基本操作及其性质
考点：关于代数余子式的重要性质
考点：行列式的计算
考点：拉普拉斯展开定理
考点：克莱姆法则
考点：齐次线性方程组克拉默法则
考研核心笔记
【核心笔记】二、三阶行列式-排列及其逆序数
1.二阶、三阶行列式
（1）二阶：
（
2）三阶：
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
3 1 3 2 3 3
2 1 2 2 2 3
1 1 1 2 1 3
a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2.排列和逆序数
（1）例如, 自然数 1,2,3,4 构成的不同排列有 4!=24 种．
1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243
2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143
3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142
4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132
（
2）标准排列： n 个不同的自然数从小到大构成的排列．
n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．
（
3）逆序数：
①某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）之间有 1 个逆序.
②排列 p1 p2 pn 中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作 ( p1 p2 pn ) .
11 22 12 21
21 22
11 12 a a a a
a a
a a
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算法：固定
, 当
时,
满足 p j pi 的“ p j ”的个数记作 （称为 的逆序数）,
那么
.
注：可以按从小到大或从前到后的方法.
（
4）奇偶性：排列 p1 p2 pn
奇数时, 称为奇排列；
偶数时, 称为偶排列
【核心笔记】n 阶行列式
为了给出 n 阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构。
（1）宏观上
①由 6 项组成
②3 个正项，3 个负项
（
2）微观上
①三阶行列式展开式的每一项都是其位于不同行不同列的三个元素之积；
②若将每一项第一个下标按自然顺序排列，则第二个下标是 123 所有 6 种排列的一种；（123），（231），
（312），（132），（213），（321）
③带正号的三项列下标的排列分别为（123），（231），（312），带负号的三项列下标的排列分别
为（132），（213），（321）－－正项的逆序数为偶数，负项的逆序数为奇数
三阶行列式的结构：
①行列式右边任一项除正负号外可以写成
1 2 3
1 2 3
p p p
a a a
其中 p1p2p3 是 1、2、3 的某个排列
②各项所带的正负号可以表示为（
-1）t 其中 t 为列标排列的逆序数
三阶行列式可以写成
其中 t 为排列 p1p2p3的逆序数 ∑表示对 1、2、3 三个数的所有排列 p1p2p3 取和 排列 p1p2p3 取和。
1.排列的逆序与奇偶性
（1）标准排列（自然排列）
在 n 个自然数的全排列中排列 123…n 称为标准排列
（
2）n 级排列
n 个自然数按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个 n 级排列.例如：546132 是一个 6
级排列。
i ( 2, ,n)
j i
i
pi
( p1 p2 pn ) 2 n
( p1 p2 pn )
( p1 p2 pn )
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（
3）逆序与逆序数
在一个排列中，如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同（即一个大的数排在了一个小的数
前面） 就说有 1 个逆序
一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数
提示：
以下我们只讨论 n 个自然数的全排列
（
4）逆序与逆序数
在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同（即一个大的数排在了一个小的数
前面） 就说有 1 个逆序
一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数
（
5）逆序数的计算
在排列 p1p2…pn中 从第一个数 p1 开始，首先计算 p1 后面比 p1小的数的个数 t1，对后面的每个 pi也
这样计算，得 t2，t3…，tn，则这 n 个数目之和 t1，t2…tn即为排列 p1p2 …pn的逆序数。记为
在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同（即一个大的数排在了一个小的数
前面） 就说有 1 个逆序
一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数
（
6）奇排列与偶排列
逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
（
7）对换
在排列中 将任意两个元素对调
其余的元素不动
就得到另一个排列
这种对排列的变换方法称
为对换。
将相邻两个元素对换
叫做相邻对换（邻换）。
定理 1
一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性。
推论 1
奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数
这是因为
由定理 1 知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 因此标准排
列变为奇排列的对换次数为奇数次，相应地，奇排列变为标准排列的对换次数也为奇数次。
推论 2
n 大于或等于 2 时，全体 n 级排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为 n!/2 个。
2.n 阶行列式的定义
利用排列的逆序和奇偶性的概念
将上式推广到 n 阶行列式，有
具体来说，由 n 2 个数 aij（
i j
1 2，…，n）构成的代数和
1 2
( )
n
p p p
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（1）D 是 n!项的代数和;
（
2）正负项个数分别为 n!/2 个;
（
3）这些项是一切可能取自于 D 的不同行与不同列的 n 个元素的乘积;
（
4）项
的符号为
【核心笔记】行列式的性质与计算
1.行列式的转置
（1）转置行列式的概念与特点
定义：
设行列式
，其转置行列式为
特点：
（
2）性质及其意义
性质：行列式与它的转置行列式相等，即
意义：行列式中的“行”与“列”具有同等的地位，因此凡是对“行”成立的性质对“列”也同样成
立.
比如，行列式 D 亦可依行展开，即
证明：（利用数学归纳法证明）对 1 阶行列式，性质显然成立；假设对于 n-1 阶行列式成立，则对于
n 阶行列式有
1
, ,
( 1~ )
n
i j i j
i
D a A
j n
1 1
,
n n
i j i j
j i
nD a A
同理：
1 1
n n
T
k l k l
l k
nD a A
1 1
( 1)
n n
k l
k l k l
l k
a M
1 1
( 1)
n n
k l T
l k l k
l k
a M
1 1
( 1)
n n
k l
l k l k
l k
a M
1 2
1 2
n
p p np
a a a
1 2
( )
( 1) .
n
p p p
a a
,
a a i j j i
T .
M M i j j i
T .
D D
1 1 2 2
(1 ).
i i i i in in
D a A a A a A i n
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2024 年北京化工大学 660 高等数学考研复习提纲
《高等数学》考研复习提纲
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