北京化工大学 862 量子力学考研历年真题答案参考书目
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【初试】2024 年北京化工大学
862 量子力学考研精品资料
考研精品资料
第 2 页 共 442 页
【初试】2024 年北京化工大学 862 量子力学考研精品资料
说明：本套资料由高分研究生潜心整理编写，高清 PDF 电子版支持打印，考研首选资料。
一、北京化工大学 862 量子力学考研真题汇编
1．北京化工大学 862 量子力学 2005-2008、2013-2016、2019、2021 年考研真题，暂无答案。
说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。
2.北京化工大学 862 量子力学考研大纲
①2023 年北京化工大学 862 量子力学考研大纲。
②2022 年北京化工大学 862 量子力学考研大纲。
说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复
习的首选资料，本项为免费提供。
二、2024 年北京化工大学 862 量子力学考研资料
3．《量子力学教程》考研相关资料
（
1）《量子力学教程》[笔记+课件+提纲]
①北京化工大学 862 量子力学之《量子力学教程》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段首选资料。
②北京化工大学 862 量子力学之《量子力学教程》本科生课件。
说明：参考书配套授课 PPT 课件，条理清晰，内容详尽，版权归属制作教师，本项免费赠送。
③北京化工大学 862 量子力学之《量子力学教程》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
（
2）《量子力学教程》考研核心题库（含答案）
①北京化工大学 862 量子力学考研核心题库之简答题精编。
②北京化工大学 862 量子力学考研核心题库之计算题精编。
说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类
汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。
（
3）《量子力学教程》考研模拟题[仿真+强化+冲刺]
①2024 年北京化工大学 862 量子力学考研专业课五套仿真模拟题。
说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。
②2024 年北京化工大学 862 量子力学考研强化五套模拟题及详细答案解析。
说明：专业课强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习首选。
③2024 年北京化工大学 862 量子力学考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。
说明：专业课冲刺检测使用。共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺首选资料。
三、电子版资料全国统一零售价
4．本套考研资料包含以上一、二部分（高清 PDF 电子版，不含教材），全国统一零售价：[￥]
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特别说明：
①本套资料由本机构编写组按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复习参
考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。
②资料中的若有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感
谢，如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！
四、2024 年研究生入学考试指定/推荐参考书目（资料不包括教材）
5．北京化工大学 862 量子力学考研初试参考书
《量子力学》（第二版）周世勋编,高等教育出版社 2009
五、本套考研资料适用学院和专业
数理学院：物理学
版权声明
编写组依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面
上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由
于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在
此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您
沟通处理。
因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读
者批评指正。
考研精品资料
第 4 页 共 442 页
目录
封面............................................................................................................................................................. 1
目录............................................................................................................................................................. 4
2024 年北京化工大学 862 量子力学备考信息 ............................................................................................. 6
北京化工大学 862 量子力学考研初试参考书目
............................................................................................... 6
北京化工大学 862 量子力学考研招生适用院系 ............................................................................................... 6
北京化工大学 862 量子力学历年真题汇编.................................................................................................. 7
北京化工大学 862 量子力学 2005 年考研真题（暂无答案）.......................................................................... 7
北京化工大学 862 量子力学 2006 年考研真题（暂无答案）.......................................................................... 9
北京化工大学 862 量子力学 2007 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 11
北京化工大学 862 量子力学 2008 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 13
北京化工大学 862 量子力学 2013 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 15
北京化工大学 862 量子力学 2014 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 17
北京化工大学 862 量子力学 2015 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 19
北京化工大学 862 量子力学 2016 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 21
北京化工大学 862 量子力学 2019 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 23
北京化工大学 862 量子力学 2021 年考研真题（暂无答案）........................................................................ 25
北京化工大学 862 量子力学考研大纲 ........................................................................................................27
2022 年北京化工大学 862 量子力学考研大纲................................................................................................. 27
2023 年北京化工大学 862 量子力学考研大纲................................................................................................. 29
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研核心笔记.....................................................................................30
《量子力学教程》考研核心笔记................................................................................................................30
第 1 章 绪论...................................................................................................................................................... 30
考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................30
考研核心笔记........................................................................................................................................................30
第 2 章 波函数和薛定谔方程.......................................................................................................................... 44
考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................44
考研核心笔记........................................................................................................................................................44
第 3 章 量子力学中的力学量.......................................................................................................................... 59
考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................59
考研核心笔记........................................................................................................................................................59
第 4 章 态和力学量的表象.............................................................................................................................. 86
考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................86
考研核心笔记........................................................................................................................................................86
第 5 章 微扰理论............................................................................................................................................ 105
考研精品资料
第 5 页 共 442 页
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................105
考研核心笔记......................................................................................................................................................105
第 6 章 散射.................................................................................................................................................... 130
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................130
考研核心笔记......................................................................................................................................................130
第 7 章 自旋与全同粒子................................................................................................................................ 148
考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................148
考研核心笔记......................................................................................................................................................148
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研辅导课件...................................................................................169
《量子力学教程》考研辅导课件 ................................................................................................................... 169
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研复习提纲...................................................................................244
《量子力学教程》考研复习提纲 ................................................................................................................... 244
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研核心题库...................................................................................248
《量子力学教程》考研核心题库之简答题精编 ........................................................................................... 248
《量子力学教程》考研核心题库之计算题精编 ........................................................................................... 267
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研题库[仿真+强化+冲刺] .............................................................309
北京化工大学 862 量子力学考研仿真五套模拟题........................................................................................ 309
2024 年量子力学教程五套仿真模拟题及详细答案解析（一） .................................................................309
2024 年量子力学教程五套仿真模拟题及详细答案解析（二） .................................................................320
2024 年量子力学教程五套仿真模拟题及详细答案解析（三） .................................................................328
2024 年量子力学教程五套仿真模拟题及详细答案解析（四） .................................................................338
2024 年量子力学教程五套仿真模拟题及详细答案解析（五） .................................................................347
北京化工大学 862 量子力学考研强化五套模拟题........................................................................................ 354
2024 年量子力学教程五套强化模拟题及详细答案解析（一） .................................................................354
2024 年量子力学教程五套强化模拟题及详细答案解析（二） .................................................................364
2024 年量子力学教程五套强化模拟题及详细答案解析（三） .................................................................373
2024 年量子力学教程五套强化模拟题及详细答案解析（四） .................................................................382
2024 年量子力学教程五套强化模拟题及详细答案解析（五） .................................................................389
北京化工大学 862 量子力学考研冲刺五套模拟题........................................................................................ 397
2024 年量子力学教程五套冲刺模拟题及详细答案解析（一） .................................................................397
2024 年量子力学教程五套冲刺模拟题及详细答案解析（二） .................................................................406
2024 年量子力学教程五套冲刺模拟题及详细答案解析（三） .................................................................414
2024 年量子力学教程五套冲刺模拟题及详细答案解析（四） .................................................................423
2024 年量子力学教程五套冲刺模拟题及详细答案解析（五） .................................................................434
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第 6 页 共 442 页
2024 年北京化工大学 862 量子力学备考信息
北京化工大学 862 量子力学考研初试参考书目
《量子力学》（第二版）周世勋编,高等教育出版社 2009
北京化工大学 862 量子力学考研招生适用院系
数理学院：物理学
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第 7 页 共 442 页
北京化工大学 862 量子力学历年真题汇编
北京化工大学 862 量子力学 2005 年考研真题（暂无答案）
青岛金а榜华研电子书
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青岛金а榜华研电子书
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第 9 页 共 442 页
北京化工大学 862 量子力学 2006 年考研真题（暂无答案）
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第 10 页 共 442 页
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第 27 页 共 442 页
北京化工大学 862 量子力学考研大纲
2022 年北京化工大学 862 量子力学考研大纲
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第 28 页 共 442 页
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第 29 页 共 442 页
2023 年北京化工大学 862 量子力学考研大纲
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第 30 页 共 442 页
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研核心笔记
《量子力学教程》考研核心笔记
第 1 章 绪论
考研提纲及考试要求
考点：光的本质之争，粒子还是波
考点：光的波动说
考点：光的粒子性实验证据之一——黑体辐射
考点：光的粒子性证据之二光电效应
考点：光的粒子性实验证据之三——康普顿效应
考点：光的波粒二象性
考点：原子结构
考点：实物粒子的波粒二象性
考研核心笔记
【核心笔记】经典物理学的困难
（1）十九世纪末，经典物理学取得巨大成功的同时，人们也发现一些新的现象不能用经典物理学解
释。
（
2）这些现象包括：黑体辐射、光电效应、原子的光谱线系、固体在低温下的比热
（
3）在这些现象的研究中暴露出经典物理的局限性，显示出它与微观世界的矛盾。
【核心笔记】光的波粒二象性
1.光的本质之争，粒子还是波
（1）光的本质之争由来已久
（
2）在牛顿之前就有波动说与粒子说之争
（
3）牛顿极力主张光的微粒说(1680 年)，几何光学是微粒说的代表。
（
4）在牛顿时代，波动说的代表是荷兰物理学家惠更斯。
（
5）那时微粒说占主导地位
2.光的波动说
（1）牛顿去世以后，新的实验事实和波的数学工具发展，使波动说逐渐占据上风。
（
2）牛顿死后大约一百年，波动说由法国人费涅尔发展到日臻完善的境地。
（
3）费涅尔的理论简洁而有力，对当时的棱镜实验，光的衍射实验等许多复杂现象都能给出漂亮的
解释。
（
4）麦克斯韦方程组不仅总结了法拉弟等人电磁学理论，而且预言电磁波。
（
5）在麦克斯韦去世 7 年后，1887 年，赫兹用实验证实了麦克斯韦电磁波的预言。
（
5）后来人证实光的本质是电磁波，至此，光的波动说完全战胜了微粒说。
3.光的粒子性实验证据之一——黑体辐射
（1）温度大于绝对零度任何物体每时每刻都在向外辐射电磁辐射
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（
2）基尔霍夫定律：辐射度 r 与吸收本领α的比值与物体的性质无关
（
3）比值是温度和波长的普适函数
夜幕上星体的辐射度作为波长的函数
（
4）为了寻找这个普适函数，人们定义在任何温度下，全部吸收任何波长辐射的物体为绝对黑体，
简称黑体。
（
5）黑体的吸收本领
与波长和温度无关，总等于 1
（
6）因此，黑体辐射度
什么物体是黑体？什么物体最黑？
（
7）针对这个模型加上一些假设，利用热力学理论，维恩得到了黑体辐射能量波长分布函数，即有
名的维恩公式。
（
8）与实验结果相比，短波长部分与实验符合较好，长波长部分与实验相差较大。
r f T
T
T ,
,
,
,T
r,T f ,T
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第 32 页 共 442 页
（
9）随后，英国物理学家 Reyleiph 和 Jeans 用经典电磁场理论和统计物理学推导出黑体辐射的新公式。
这个公式只有在波长相当长的部分与实验曲线相符合。
（10）随着波长减小，辐射度无限增大，隐含总发射能量发散。这显然是不正确的
辐射理论出现这种荒唐的局面被称之为“紫外灾难”
（11）实际上它不仅是某一个特殊公式的灾难，也是这个公式全部理论基础——经典物理学的灾难
（12）1900 年，在 R-J 公式发表之前，德国物理学家 Planck 偶然得到一个经验公式
1
, 5
kT
T h
e
d
r d C
当
时，Planck 公式趋于 Wien 公式。
当
时，Planck 公式趋于 R-J 公式。
c kTd
r T d
4
, 2
0
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Planck 公式图示(高温)
Planck 公式图示（较高温度）
Planck 公式图示（中温）
Planck 公式图示（低温）
①许多物理学家立即用这个公式与当时最精密的实验数据对比，发现在整个波长范围内与实验符合得
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第 169 页 共 442 页
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研辅导课件
《量子力学教程》考研辅导课件
考研精品资料
第 170 页 共 442 页
考研精品资料
第 171 页 共 442 页
考研精品资料
第 172 页 共 442 页
考研精品资料
第 244 页 共 442 页
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研复习提纲
《量子力学教程》考研复习提纲
考研精品资料
第 245 页 共 442 页
考研精品资料
第 246 页 共 442 页
考研精品资料
第 247 页 共 442 页
考研精品资料
第 248 页 共 442 页
2024 年北京化工大学 862 量子力学考研核心题库
《量子力学教程》考研核心题库之简答题精编
1． 汞(Hg)的
这条谱线在
磁场的作用下,分裂成三条间隔
的谱线，判断这是正常塞曼
(Zeeman) 效 应 或 是 由 自 旋 轨 道 耦 合 起 作 用 的 跃 迁 所 引 起 的 反 常 塞 曼 效 应 ( 玻 尔 磁 子
，
)。
【答案】在磁场 B(设沿 z 方向)中，磁矩 M 对哈密顿提供一附加磁能项
(a)
它使原能级
分裂成
若是正常塞曼效应，则不考虑自旋轨道耦合，这时与自旋有关的算子只有式(a)中的
，但单独的 不
会引起不同自旋态之间的跃迁,故
，再利用偶极跃迁的选择定则
可知对于正常塞曼
效应，每条光谱线将分裂为三条，而且其间距为
又由
得
这正是所观测到的间距，说明这是正常塞曼效应而不是反常塞曼效应[事实上，由自旋轨道耦合下的
选择定则可推知反常塞曼效应中的谱线间隔和每条谱线分裂的条数(为偶数条)]。
2 ． 已 知 条 件 ： 单 电 子 波 函 数 的 空 间 部 分 分 别 为
和
，其中
为一维谐振子第 n 个本征函数。
待求问题：体系的波函数
.
相互联系：由于无相互作用，
可由两个单电子波函数的乘积组成；全同性原理要求
为反对称函数，即
【答案】单粒子波函数为空间部分和自旋部分的乘积，两电子的空间波函数不同，能够组成一个对称
波函数
和一个反对称波函数
，具体形式为
(1)
两电子的自旋波函数可以组成 3 个对称函数
和 1 个反对称函数
。
体系的波函数要求反对称，应该由不同对称性的空间部分和自旋部分组成，即
(2)
共有 4 种可能的状态，前三个空间部分相同，为三重态，后一个为单态。
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3． 以角动量为例说明算子对易关系的数学形式和物理意义
【答案】角动量算符各分量之间有对易关系式：
；角动量平方算符与各分量对易即：
由角动量算符的对易式，我们可以写出任意两个代表力学量的厄米算符
对易关系的普遍形
式：
。
(1)当 为非零算符时( 可为常算符如
)：
力学量 A，B 存在着互相制约关系
表示量子力学中平均值，一般情况下，
不能同时取确定值；在特殊情况下
可以同时取确定值，可以有共同的本征态，
但无共同本征态的完全集，例如：在
的共同本征态
下，当 l=0，m=0 时，
，即
在态
下，都同时取确定值。
(2)当 为零算符时：
，表明 A，B 无制约关系，可以同时取确定值，它们存在共同本征态的完全集，
如： 与 对易，
，
，1，2,3,…，m=0，l，2，3…， 为其共同本征态的完全集。
综上所述，对易式
，反映了量子力学中，力学量的相互制约程度，这也正是导致一些力
学量只能是量子化的原因，若一切力学量都相互对易，即
量子力学就回到经典力学。
4． (1)判断下列算符哪些是奇宇称算符？哪些是偶宇称算符？哪些两者都不是？
(2)氢原子的定态波函数
是奇宇称还是偶宇称？是否任何氢原子的定态波函数都
有确定的宇称？
【答案】(1)
是奇宇称算符，
是偶宇称算符
既不是奇宇称算符也不是偶宇称算符.
(2)
有确定的宇称
，因而是奇宇称。但不是任何氢原子的定态波函数都有确
定的宇称(尽管氢原子的宇称是个守恒量)，因为它的定态波函数可能是简并的。例如，如下的波函数：
，是一个定态波函数(有唯一确定的能量),但无确定的宇称。
5． 若
是作用于态空间
的算符， 是作用于态空间
的算符。如何正确理解简略写法
的意
义？证明 的本征值等于 的本征值与
的本征值的和。并回答
的本征矢是否一定为 的本征矢和
的
本征矢的直积。
【答案】
应理解为
其中
和
分别为作用干
和
空间中的单位算符。设
则有
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第 250 页 共 442 页
故
的本征值
是 与 的本征值的和
但不能断言
的本征矢都能写成 及
的本征矢的直积，因为
的本征值可能会出现简并，如当
是二重简并时(此时存在 p，g，使得
)，则 的对应这个本征值的本征矢为
其中
为任意两个复数。由此可见，存在 的不能写成直积形式的本征矢(但总能写成
的本征矢
的直积的线性组合)。
6． (1)定态问题中的态都是定态吗？(2)说明定态和束缚态的区别和联系。(3)证明任何一维束缚定态都
是非简并的。
【答案】(1)尽管定态问题中哈密顿不显含时间，但定态问题中的态不一定都是定态，这是因为定态
是能量具有确定值的态(即能量本征态)，不同能量值的定态的叠加态就不是定态。
(2)束缚态不一定是定态(如束缚态可以是若干不同束缚定态的叠加)，定态也不一定是束缚态(如表示
动量本征态的平面波函数)，但在平方可积的条件下，定态一定是束缚态。
(3)若一维束缚定态是简并的，则对同一能量本征值 E 至少有两个线性独立的本征函数
和
与
之对应
由此知
故
从而有
常数
由于在无穷远处束缚态波函数应为零，故此常数必须是零，所以
对上式积分，可得
，即
，这与前面的这两个函数是线性独立的假设相矛盾。
故一维束缚定态只能是非简并的。
7． 若物理量算符 满足如下关系：
，且
的矩阵为 20×20 的对角矩阵，对角元为
各
出现一次，
各出现两次，
各出现四次，0 出现六次，问：
(1) 对应什么物理量？
(2)
能取什么值？这些值在
表象中各自重复出现的次数是多少？如何理解
这些重复出现的情况？
【答案】(1) 满足角动量的一般定义，故它是角动量算符。
(2)由于在
表象中，
最大值为
，故角量子数 j 可取 3，又因对角元为±3h 各出现一次，
故 j=3 的子对角块矩阵是一个
又在 j=3 的子块中，
必定出现一次，而题中告诉
各出现两次，故一定有 j=2 的子块一个，又
j=3 和 j=2 的子块中都各出现
一次，故可知 j=1 的子块应该是 4-1-1=2 个，同理可推知 j=0 的子块应
考研精品资料
第 251 页 共 442 页
是 6-1-1-2=2 个。
由于
取值为
，而相应简并度为(2j+1)g(j)，这里 g(j)为有同一 j 的子块数，它也是
和
的一对本征值
和
的简并度，故知
取值为
相应重复次数为 7，5，6，2，重复次数之和刚好是 20，重复的原因反映了
不构成 C.S.C.O.，
体系还存在别的自由度。
8． 厄米算符 的本征值
与本征矢
分别具有什么性质？
【答案】本征值 为实数，本征矢
构成正交、归一和完备的函数系。
9． 有两个自旋均为 1/2 的粒子，质量分别是
和
，其相互作用为
碰撞前两粒子自旋态分别是
和
，给出用分波法计算两自旋同时反向的总截面的可行的实际步骤，
并解释它的理由。
【答案】碰撞前体系的状态是
为了知道碰撞后的状态，我们研究体系的运动积分。由于
(a)
可见
( 为
和
的约化质量)与
对易，因而它们是运动积分！此外由于是中
心势场，故轨道角动量 也是运动积分。这样，碰撞后的态应该具有如下渐近形式：
这里 和 分别对应总自旋为 1 和总自旋为 0 的情形。将上面的耦合表象重新化成无耦合表象，可以
得出自旋同时倒向的微分截面应为
因而可求出自旋同时倒向的总截面为
注意利用球谐函数的正交性和归一性
得
为了求出 和
，我们只需分别求出在 S=1 和 S=0 时的 的形式即可，由式(a)知 S=1 时，我们有
，S=0 时，有
。由 确定
以及由 确定
是用不考虑自旋时的中
心力场中的分波法，而这可按已有的方法去做。
10．态叠加原理可以有如下说法:“如果
和
是体系的两个可能状态,那么它们的线性叠加
也是这个体系的一个可能状态。”
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2024 年北京化工大学 862 量子力学考研题库[仿真+强化+冲刺]
北京化工大学 862 量子力学考研仿真五套模拟题
2024 年量子力学教程五套仿真模拟题及详细答案解析（一）
一、简答题
1． 说明状态波函数
的数学和物理意义，波函数归一化的意义是什么？解释为什么表达力学量的算
符必须是观察算符。
【答案】将态矢
按坐标算符 的本征矢
展开
上式中的基矢前的系数
正是波函数，即波函数
是态矢
在
上的分量，
形
成波函数空间，它是希尔伯特空间
(平方可积的函数空间)的子空间，即波函数不仅是平方可积的，而且
是充分正规的[处处有定义(必然有界)、单值、连续等]。不满足正规化条件的函数不能作为真实物理态的
状态波函数(对那些绝对“理想化”的情形例外，如单色平面波波函数等)。状态波函数
以下面的方
式描述一个粒子：①它是一种能同自己相干涉的概率振幅。②波函数的绝对值的平方正比于所描写的粒子
在 t 时刻出现在 r 处的概率密度(由谱分解原理和上式可看出)。③它描写一单个粒子而不是这种粒子的统
计分布。
波函数的归一化条件
，表明在空间任何地方找到粒子的概率为 1，它也反映了粒子数
是守恒的。
表达力学量的算符必须是观察算符有以下三条理由：①观察算符的厄米性，使其本征值为实的，这符
合真实的测量结果总是实数的要求。②观察算符的线性性适应 S 方程的线性性要求，并使态叠加原理得到
满足(因 是观察算符)。③观察算符的本征矢的封闭性，使得任一态矢量均可按其本征矢展开，这保证了
对处于任一状态的体系测量该观察算符所表示的力学量时都能作(概率性的)理论预言。
2． 什么是量子化？如何实现量子化？
【答案】量子化有两个含义。
量子化的一个含义是，在经典力学中取连续值的力学量,到量子力学中变成取分立值的现象，其原因
是在经典力学中的力学量
，到量子力学中变成了厄米算符
，并且其中坐标
与动量 满
足对易关系
正是这样的对易关系使得一些由 与
组成的力学量算符(如一维谐振子能量算符，轨道角动量算符
等)的本征值取分立值。上述对易关系叫做量子化条件,其中起关键作用的是不对易式
。
量子化的另一含义是指由经典力学过渡到量子力学的步驟，这个步骤是，首先将经典力学中的哈密顿
正则运动方程
中的正则坐标
与正则动量
变成厄米算符
与
，
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其中作为
与
的函数的哈密顿量
，自然也就成为厄米算符，然后让
与
满足如下对
易关系：
正是这种对易关系，使得这些算符在坐标表象中有如下性质：
根据对易关系(5)，方程(2)变为
这两个方程正是量子力学海森伯绘景中的运动方程，以上步骤完成了从经典力学到量子力学的过渡，
对易关系(3)叫做正则量子化条件，其中起关键作用的是不对易式
。
3． 若在某一给定实验中,无法测定粒子的电荷的符号。那么此时能将正电子和电子视为全同粒子吗？是
否在任何情形下都必须将两个电子视为全同粒子而应用对称化假设呢？
【答案】全同粒子是所有内禀性质(固有性质)都相同的粒子，是与实验条件无关的。故尽管在某个特
定实验上无法测定电荷的符号，也不能将正电子和电子视为全同粒子。掌з心博阅电д子书
尽管两个电子是全同粒子，但在一些特殊情形也可按非全同粒子处理而不必对它们应用对称化假设，
如当两个电子具有不同的自旋方向且它们之间的相互作用又不会改变各自的自旋方向时；又如，对于始终
位于空间不同区域且又无相互作用的两个电子也可以这样做，只要这两个电子的波函数不互相重叠。
4． 有人设计了如下实验，用以否定互补原理：板 A 可在同一平面内在垂直于 Oz 方向上移动(用以测定通
过板上的小缝的光子的动量)。用一无限远光源垂直照射板 A，当光子通过板到达屏上 M 点，其动量的改
变应等于板所吸收的动量。另一方面由于通过板后的动量的大小与光子的路径有关，与它是通过小缝
或
是通过
有关。事实上由光子的能量动量关系易知
当我们让光子一个接一个地逐渐到达屏来形成干涉图像时，用测定板 A 获得的动量来判断光子到底通
过的是哪个孔，这样就否定了互补原理(下图)。
图
这实验错在什么地方？用不确定原理定性说明互补原理的正确性。
【答案】实验思想的错误在于仅仅假设了光子的量子特性，而忽略了宏观物体(板)也要受量子力学的
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支配！这样，若我们要知道光子是通过哪个孔，那么板 A 的垂直动量的不准确度
应远小于测量
与
之间的差值，即
。由不确定关系知，对板的位置仅仅在
范围内才知道
。
若设双缝间的距离为 a 板与屏间距离为 d，且设 与 很小(即
)，则
故
所以
，但
正是屏上条纹的间距。这样双缝之间的距离的不准确度超过条纹的间距，故
干涉图像不可能观察到。掌ы心┤博阅电子书
互补原理与不确定原理有密切联系，当用实验来测察(经典意义上的)粒子性时，由定义知，一个“粒
子”在一个特定时刻是可以以无限的精确度定位的，故在这个实验中
和
为零。这样，由不确定关系
知，它的能量和动量，从而表征其波动性的那些量：
将是完全不确定的，即观察对象在
表现其(经典意义上的)粒子性时，其波动性就必然会被抑制，反过来在表现出波动性时,其粒子性也会被
抑制。经典意义上的波动性和粒子性不可能同时被观测到，只有在正确意义上才能理解统一的波粒二象性。
5． 考虑一个自旋 3/2 的粒子 a，它可以衰变成两个粒子：自旋 1/2 的粒子 b 和自旋 0 的粒子 c。我们在
粒子 a 的静止参考系中观察衰变时的总角动量是守恒的.(1)两个终态粒子的相对轨道角动量能取什么
值？证明若相对轨道态的宇称固定时，则只有一种可能取值.若粒子 a 的自旋大于 3/2，这个结论仍成立
吗？(2)设粒子 a 初态自旋的 z 分量的本征值为
，且终态的相对轨道态有确定宇称，此时是否可以通
过测量粒子 b 处于
或
态的概率来决定这个宇称？已知公式
(1)
【答案】(1)因衰变
中， 是守恒量，故
，其中
按题意 a 静止于参考系，故
，且知
，故有
(2)
由三角形法则知
或
，其宇称分别是
或-。
故若相对轨道态的宇称固定，则相对轨道角动量只有一种可能值，若粒子 a 的自旋为大于 3/2 的半整
数时，这个结论仍成立。
(2)由式(2)知，初态的
可看成 和
的合成，且因
时，应取 J=l+1/2，由题目中的公式知粒
子 b 处于
的概率为(3+2m)/6(处于
的概率为(3-2m)/6)，而
。
当
时，应取 J=l-1/2.利用题目中给出的公式知，粒子 b 处于
的概率为(5-2m)/10，这样我们
可以通过测量粒子 b 处于
(或
)态的概率来决定这个宇称。
6 ． 已 知 条 件 ： 单 电 子 波 函 数 的 空 间 部 分 分 别 为
和
，其中
为一维谐振子第 n 个本征函数。
待求问题：体系的波函数
.掌ф心博阅║рс电子书
相互联系：由于无相互作用，
可由两个单电子波函数的乘积组成；全同性原理要求
为反对称函数，即
【答案】单粒子波函数为空间部分和自旋部分的乘积，两电子的空间波函数不同，能够组成一个对称
波函数
和一个反对称波函数
，具体形式为
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(1)
两电子的自旋波函数可以组成 3 个对称函数
和 1 个反对称函数
。
体系的波函数要求反对称，应该由不同对称性的空间部分和自旋部分组成，即
(2)
共有 4 种可能的状态，前三个空间部分相同，为三重态，后一个为单态。
7． (1)判断下列算符哪些是奇宇称算符？哪些是偶宇称算符？哪些两者都不是？
(2)氢原子的定态波函数
是奇宇称还是偶宇称？是否任何氢原子的定态波函数都
有确定的宇称？
【答案】(1)
是奇宇称算符，
是偶宇称算符
既不是奇宇称算符也不是偶宇称算符.
(2)
有确定的宇称
，因而是奇宇称。但不是任何氢原子的定态波函数都有确
定的宇称(尽管氢原子的宇称是个守恒量)，因为它的定态波函数可能是简并的。例如，如下的波函数：
，是一个定态波函数(有唯一确定的能量),但无确定的宇称。
8． (1)定态问题中的态都是定态吗？(2)说明定态和束缚态的区别和联系。(3)证明任何一维束缚定态都
是非简并的。
【答案】(1)尽管定态问题中哈密顿不显含时间，但定态问题中的态不一定都是定态，这是因为定态
是能量具有确定值的态(即能量本征态)，不同能量值的定态的叠加态就不是定态。
(2)束缚态不一定是定态(如束缚态可以是若干不同束缚定态的叠加)，定态也不一定是束缚态(如表示
动量本征态的平面波函数)，但在平方可积的条件下，定态一定是束缚态。
(3)若一维束缚定态是简并的，则对同一能量本征值 E 至少有两个线性独立的本征函数
和
与
之对应
由此知
故
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